Online-Tutorium über mathematische Methoden zur Beschreibung von Kurven

Eigenschaften der B-Spline-Kurven

Die Eigenschaften der B-Spline-Basisfunktionenen haben folgende Bedeutung für die B-Spline-Kurven:

jeder Punkt $P_{i}$ wird durch eine individuelle B-Spline-Basisfunktion gewichtet, die nur in den Intervallen $t_{i}, t_{i+1},...,t_{i+k}$ von Null verschieden ist. Daraus resultiert lokale Verformbarkeit der Kurve durch lokalen Einfluss eines Punktes.
jedes Segment einer B-Spline-Kurve der Ordnung liegt in der konvexen Hülle der dem Segment zugeordneten aufeinanderfolgenden Stützpunkte.
je niedriger die Ordnung , desto größer die Ähnlichkeit zwischen Kurve und Stützpolygon (; Identität).
Mehrfachstützpunkte ziehen die Kurve an; ein -facher Stützpunkt wird interpoliert.
kollineare Stützpunkte definieren eine Tangente an die Kurve.
für geschlossene Polygone werden periodische B-Spline-Basisfunktionen verwendet.
für eine offene B-Spline-Kurve wird ein Knotenvektor zugrunde gelegt, bei dem die ersten Elemente gleich sind und ebenfalls die letzten Elemente.
wird bei einem offenen Stützpolygon nur dem ersten und letzten Stützpunkt ein -facher Knoten zugeordnet, so
- besteht der Knotenvektor aus Elementen $(t_{0},...,t_{n+k})$ .
- setzt sich die Approximationskurve aus Segmenten zusammen.
- interpoliert die Kurve den ersten und letzten Polygonpunkt.
- sind der erste und letzte Polygonschenkel Tangenten an die Kurve.

wird die B-Spline-Kurve mittels einsegmentiger B-Spline-Basisfunktionen beschrieben, deren Knoten durch je einen -fachen Knoten am Anfang bzw. am Ende definiert ist (d.h. die Anzahl der Stützpunkte $P_{i}$ ist gleich der Ordnung und der Knotenvektor ist $(t_{0}, t_{1} = t_{0},...,t_{k-1}=t_{0},t_{k},t_{k+1}=t_{k},...,t_{2k-1}=t_{k})$ mit $(t_{k-1} \leq t_{k})$ ), so ist jeweils die B-Spline-Basisfunktion identisch mit einem Bernsteinpolynom vom Grad ; das bedeutet, die resultierende B-Spline-Kurve entspricht einer Bézier-Kurve die Stützpunkte approximiert.

Studienarbeit von Stefan Kögler, 5koegler@informatik.uni-hamburg.de
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