Inhalt, Approximationsverfahren, B-Spline-Kurven: [ Motivation | Definition der B-Spline-Kurven | Definition der B-Spline-Basisfunktionen | Der Knotenvektor | Eigenschaften der B-Spline-Basisfunktionen | Eigenschaften der B-Spline-Kurven | Beurteilung von B-Spline-Kurven ]

Der Knotenvektor

Die Unterbereichsgrenzen $t_{i}$ des Definitionsintervalls $t_{0} \leq t \leq t_{max}$ heißen parametrische Knoten. An jedem parametrischen Knoten ändert sich die Wichtungsfunktion. Die geordnete Menge aller parametrischen Knoten nennt man Knotenvektor: $(t_{0}, t_{1}, ..., t_{max})$. Für die Intervallsgrenzen $t_{i}$ des Knotenvektors $(t_{0}, t_{1}, ..., t_{max})$ sind verschiedene Definitionsformen möglich: Unterschieden wird weiterhin zwischen periodischen und nicht-periodischen B-Spline-Basisfunktionen. Bei ersteren gilt für alle $t_{i}$ des Knotenvektors: $t_{i-1} < t_{i} < t_{i+1}$. Bei letzteren darf für irgendein $t_{i}$ gelten: $t_{i} = t_{i+1}$. Beim Aufbau des Knotenvektors muss unterschieden werden zwischen geschlossenen B-Spline-Kurven und offenen (und eingespannten) B-Spline-Kurven:
Offene Kurven:
Ein beliebiger periodischer oder nicht-periodischer Knotenvektor (mit $n+k+1$ Elementen) kann gewählt werden. Der häufig benutzte Spezialfall der offenen Kurven sind die eingespannten (clamped) Kurven:

Eingespannte Kurven:
Werden beschrieben mittels ($k-1$) nichtperiodischen B-Spline-Basisfunktionen jeweils am Anfang und am Ende und ggf. periodischen B-Spline-Basisfunktionen dazwischen. Der Knotenvektor enthält $n+k+1$ Elemente (also $max = n+k$):
( $t_{0}, t_{1}=t_{0},..., t_{k-1}=t_{0}, t_{k},..., t_{n}, t_{n+1}, t_{n+2}=t_{n+1},... ,t_{n+k}=t_{n+1}$)
Beispiele:
n=4, k=2 ( $t_{i+1} - t_{i} = 1$):
$i$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$
$t_{i}$ $0$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $4$
$n=4$, $k=3$ $(t_{max} - t_{0} = 1)$:
$i$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$
$t_{i}$ $0$ $0$ $0$ $\overline{0,3}$ $\overline{0,6}$ $1$ $1$ $1$
Bei diesen Kurven wird der erste und letzte Stützpunkt (wie bei den Bézier-Kurven) interpoliert.

Geschlossene Kurven:
Werden beschrieben mittels periodischer B-Spline-Basisfunktionen; der Knotenvektor enthält $(n+2k)$ Elemente (also $max = n+2k-1$):
Achtung: Bei der Generierung der B-Spline-Kurve müssen bei der Auswertung der Kurvengleichung die ersten $(k-1)$ Stützpunkte hinten an die Folge der vorgegebenen $(n+1)$ Stützpunkte angehängt werden, um eine vollständige B-Spline-Kurve beschreiben zu können:
$P_{0}, P{1},..., P_{n}, P_{n+1}=P_{0},..., P_{n+k-1} = P_{k-2}$

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Studienarbeit von Stefan Kögler, 5koegler@informatik.uni-hamburg.de
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