Inhalt, Approximationsverfahren, Bézier-Kurven: [ Motivation | Definition von Bézier-Kurven | Bernsteinpolynome | Eigenschaften von Bézier-Kurven | Beurteilung von Bézier-Kurven | Verbindungsbedingungen von zwei Bézier-Kurven ]

Verbindungsbedingungen von zwei Bézier-Kurven

Bei der Segmentierung der Bézierkurve können an den Segmentgrenzen verschiedene Kontinuitätsbedingungen eingehalten werden. Im folgenden werden die beiden Kurvensegmente $K_{1} (t)$ (mit den Stützpunkten $P_{i}$) und $K_{2} (t)$ ($Q_{i}$) betrachtet, jeweils mit einem eigenen Parameterintervall ( $t_{min} \leq t \leq t_{max}$):
  1. Lokale Kontinuität [$C^{0}$-Kontinuität]:
    Gilt, wenn $K_{1} (t_{max}) = K_{2} (t_{min})$, d.h. der letzte Stützpunkt der ersten Bézier-Kurve trifft auf den ersten Stützpunkt der zweiten Bézier-Kurve.
  2. Tangentiale Kontinuität:
    1. parametrisch [$C^{1}$-Kontinuität]:
      Ist gegeben, wenn 1. und zusätzlich $K_{1}' (t_{max}) = K_{2}' (t_{min})$ gilt. Für Bézier-Kurven bedeutet dies: $n \cdot (P_{n} - P_{n-1}) = m \cdot (Q_{1} - Q_{0})$.
      Bei zwei Bézier-Kurven gleichen Grades folgt daraus, dass $P_{n-1}$, $P_{n} = Q_{0}$ und $Q_{1}$ kollinear und die Abstände von $P_{n-1}$ und $Q_{1}$ zu $P_{n} = Q_{0}$ gleich sein müssen.
    2. geometrisch [$G^{1}$-Kontinuität]:
      Zusätzlich zu 1. muss gelten: $K_{1}' (t_{max}) = a \cdot K_{2}' (t_{min})$, $(a>0)$,
      d.h. bei Bézier-Kurven gilt: $P_{n-1}$, $P_{n} = Q_{0}$ und $Q_{1}$ sind kollinear.
  3. Krümmungskontinuität:
    1. parametrisch [$C^{2}$-Kontinuität]:
      Erreicht man, wenn zusätzlich zu 1. und 2.1. gilt:
      $K_{1}'' (t_{max}) = K_{2}'' (t_{min})$, d.h. bei Bézier-Kurven gilt:
      $n \cdot (n-1) \cdot (P_{n}-2 \cdot P_{n-1}+P_{n-2}) = m \cdot (m-1) \cdot (Q_{0}-2 \cdot Q_{1}+Q_{2})$
    2. geometrisch [$G^{2}$-Kontinuität]:
      Neben 1. und 2.2. muss gelten:
      $K_{1}'' (t_{max}) = a^2 \cdot K_{2}'' (t_{min}) + b \cdot K_{2}' (t_{min})$, mit ($b \geq 0$).
Der Parameter $t$ hat bei Bézier-Kurven und den beiden folgenden Approximationsverfahren keine Auswirkung auf Tangentenrichtung und Krümmung der Kurve. Der Betrag des Tangentenvektors und des Krümmungsvektors sind aber parameterabhängig.

Bézier-Kontinuitätsbedingungen
[ Java-Applet starten | Hinweis: Applet zur Darstellung von zwei verbundener Bézier-Kurven, um die Auswirkung der verschiedenen Übergangsbedingungen zu testen.]

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Studienarbeit von Stefan Kögler, 5koegler@informatik.uni-hamburg.de
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