Online-Tutorium über mathematische Methoden zur Beschreibung von Kurven

Bernsteinpolynome

Die Bernsteinpolynome (vom Grad

) sind folgendermaßen definiert:

$\begin{displaymath} B_{n,i} (t) = {n \choose i} \cdot t^{i} \cdot (1-t)^{n-i} \end{displaymath}$

(3.2)

Die wichtigsten Eigenschaften der Bernsteinpolynome sind:

Die Wichtungsfunktion hat für den ersten Stützpunkt $P_{0}$ am Kurvenanfang () den Wert 1 und am Kurvenende () den Wert 0.
Die Wichtungsfunktion hat für den letzten Stützpunkt $P_{n}$ am Kurvenanfang den Wert 0 und am Kurvenende den Wert 1.
Die Wichtungsfunktion hat für einen Stützpunkt $P_{i}$ sowohl am Kurvenanfang, als auch am Kurvenende den Wert 0.
Das Maximum der Polynome liegt jeweils bei .
Die Bernsteinpolynome sind nichtnegativ: $B_{n, i} (t) >= 0$ für und $0 \leq t \leq 1$ .
Die Summe der einzelnen Bernsteinpolynome ist für jedes $0 \leq t_{0} \leq 1$ gleich 1 ( $\sum_{i=0}^{n} B_{n,i} (t_{0}) = 1$ ).

Die Eigenschaften der Bernsteinpolynome kann man sich auch an Java-Applet 3.2 verdeutlichen:
Mit der Auswahlbox unten kann der Grad der Bernsteinpolynome gewählt werden. Bewegen Sie den Schieberegler für t im Bereich von 0.0 (Anfang) bis 1.0 (Ende der Bezierkurve): Rechts neben den Bersteinpolynomen sind die Anteile des Einflusses der jeweiligen Bernsteinpolynome auf den Kurvenverlauf an der Stelle t dargestellt.

**Java-Applet 3.2:** Bernsteinpolynome, rechts die Summe (=1) der Polynome an der ausgewählten Stelle.

Studienarbeit von Stefan Kögler, 5koegler@informatik.uni-hamburg.de
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