Online-Tutorium über mathematische Methoden zur Beschreibung von Kurven

Eigenschaften von Bézier-Kurven

Die Eigenschaften der Bézier-Kurve sind:

die -te Ableitung ergibt sich
am Kurvenanfang zu:

$\begin{displaymath} K^{a} (0) = \frac{n!}{(n-a)!} \cdot \sum_{i=0}^{a} (-1)^{a-i} \cdot {a \choose i} \cdot P_{i} \end{displaymath}$ (3.3)

am Kurvenende zu:

$\begin{displaymath} K^{a} (1) = \frac{n!}{(n-a)!} \cdot \sum_{i=0}^{a} (-1)^{i} \cdot {a \choose i} \cdot P_{n-i} \end{displaymath}$ (3.4)
Wichtig wird später bei der Verbindung von Bézier-Kurven die erste und zweite Ableitung der Bézier-Kurve:
- Die erste Ableitung am Kurvenanfang: $K'(0) = n \cdot (P_{1}-P_{0})$
  Die erste Ableitung am Kurvenende: $K'(1) = n \cdot (P_{n}-P_{n-1})$
  Die ersten/letzten zwei Stützpunkte bestimmen die Tangentenrichtung am Anfang/Ende der Bézierkurve.
- Die zweite Ableitung am Kurvenanfang:
  $K''(0) = n \cdot (n-1) \cdot (P_{0}-2 \cdot P_{1}+P_{2})$
  Die zweite Ableitung am Kurvenende:
  $K''(1) = n \cdot (n-1) \cdot (P_{n}-2 \cdot P_{n-1}+P_{n-2})$
  Die ersten/letzten drei Stützpunkte bestimmen die Krümmung am Anfang/Ende der Bézierkurve.
Die Bézierkurve liegt ganz in der konvexen Hülle der zu approximierenden Stützpunkte.
Jeder Stützpunkt hat Einfluss auf den gesamten Kurvenverlauf einer Bézier-Kurve.
Jeder Stützpunkt $P_{i}$ beeinflusst den ihm zugeordneten Bereich der Kurve am meisten.
Nur der erste Stützpunkt hat Einfluss auf den Kurvenanfang (er wird interpoliert).
Nur der letzte Stützpunkt hat Einfluss auf das Kurvenende (er wird interpoliert).
Der Polynomgrad wächst mit der Anzahl der Stützpunkte.

Studienarbeit von Stefan Kögler, 5koegler@informatik.uni-hamburg.de
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