Inhalt, Interpolationsverfahren, Kubische Spline-Kurven: [ Motivation | Definition eines Kubischen Spline-Kurvensegments | Erweiterung auf zwei Kurvensegmente | Verallgemeinerung für beliebig viele Kurvensegmente | Beurteilung Kubischer Spline-Kurven ]

Erweiterung auf zwei Kurvensegmente

Die eben beschriebene Methodik wird nun erweitert für die Interpolation durch drei Stützpunkte und entsprechend berechnet man zwei Kubische Spline-Kurven- segmente. Dabei beschreiben jeweils zwei benachbarte Stützpunktpaare ein Kubisches Spline-Kurvensegment. Wie immer in diesem Kapitel soll die Ableitung am ersten und letzten Stützpunkt als Randbedingungen vorgegeben sein. Die Gleichung für das zweite Kurvensegment lautet:
$\displaystyle K_{2} (t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle P_{2} + P_{2}' \cdot t +$  
    $\displaystyle {} \left(\frac{3 \cdot (P_{3}-P_{2})}{t_{3}^{2}} - \frac{2 \cdot P_{2}'}{t_{3}} - \frac{P_{3}'}{t_{3}}\right) \cdot t^{2} +$  
    $\displaystyle {} \left(\frac{2 \cdot (P_{2}-P_{3})}{t_{3}^{3}} + \frac{P_{2}'}{t_{3}^{2}} + \frac{P_{3}'}{t_{3}^{2}}\right) \cdot t^{3}$ (2.10)

Der Parameter $t$ im zweiten Kurvensegment: $0 \leq t \leq t_{3}$ Bei nur einem Kurvensegment waren die beiden Ableitungen an den Stützpunkten $P_{1}$ und $P_{2}$ als Randbedingung vorgegeben. Bei drei Stützpunkten sind die Ableitungen an den Stützpunkten $P_{1}$ und $P_{3}$ vorgegeben. Gesucht ist jetzt die Ableitung an der Segmentgrenze, also am Stützpunkt $P_{2}$. Es soll nun die unbekannte Tangente $P_{2}'$ bestimmt werden, so dass Krümmungskontinuität über die Segmentgrenze hinweg gewährleistet ist. Dazu muss folgende Bedingung erfüllt sein:

\begin{displaymath} P_{2}'' \vert _{t=t_{2}} = P_{2}'' \vert _{t=0} \end{displaymath}

(im ersten Segment) (im zweiten Segment)

Die zweite Ableitung der Kurvengleichung (2.1) ist:

          $\displaystyle K''_{1} (t) = 2 \cdot C_{1} + 6 \cdot D_{1} \cdot t$     (2.11)

Am Ende des ersten Spline-Kurvensegments ist:
$\displaystyle K''_{1} (t_{2})$ $\textstyle =$ $\displaystyle P_{2}'' = 2 \cdot C_{1} + 6 \cdot D_{1} \cdot t_{2}$  
    $\displaystyle {} 2 \cdot \left(\frac{3 \cdot (P_{2}-P_{1})}{t_{2}^{2}} - \frac{2 \cdot P_{1}'}{t_{2}} - \frac{P_{2}'}{t_{2}}\right) +$  
    $\displaystyle {} 6 \cdot \left(\frac{2 \cdot (P_{1}-P_{2})}{t_{2}^{3}} + \frac{P_{1}'}{t_{2}^{2}} + \frac{P_{2}'}{t_{2}^{2}}\right) \cdot t_{2}$ (2.12)

Am Anfang des zweiten Spline-Kurvensegments ist:
$\displaystyle K''_{2} (0)$ $\textstyle =$ $\displaystyle P_{2}'' = 2 \cdot C_{2} =$  
    $\displaystyle {} 2 \cdot \left(\frac{3 \cdot (P_{3}-P_{2})}{t_{3}^{2}} - \frac{2 \cdot P_{2}'}{t_{3}} - \frac{P_{3}'}{t_{3}}\right)$ (2.13)

Gleichsetzen von (2.12) und (2.13) ergibt:
    $\displaystyle 6 \cdot \left(\frac{2 \cdot (P_{1}-P_{2})}{t_{2}^{3}} + \frac{P_{... ...P_{1})}{t_{2}^{2}} - \frac{2 \cdot P_{1}'}{t_{2}} - \frac{P_{2}'}{t_{2}}\right)$  
    $\displaystyle {} = 2 \cdot \left(\frac{3 \cdot (P_{3}-P_{2})}{t_{3}^{2}} - \frac{2 \cdot P_{2}'}{t_{3}} - \frac{P_{3}'}{t_{3}}\right)$ (2.14)

Die Gleichung (2.14) kann nach dem gesuchten $P_{2}'$ aufgelöst werden und ergibt:
$\displaystyle P_{2}' = \frac{\frac{3}{t_{2} \cdot t_{3}} \cdot \Bigl(t_{2}^{2} ... ...{1})\Bigr) - t_{3} \cdot P_{1}' - t_{2} \cdot P_{3}'} {2 \cdot (t_{2} + t_{3})}$     (2.15)

So kann also $P_{2}'$ berechnet werden bei einer Kubischen Spline-Kurve durch drei Stützpunkte. Hat man $P_{2}'$, können die Koeffizienten $A_{i}$, $B_{i}$, $C_{i}$ und $D_{i}$ für die beiden Kurvensegmente $K_{i}$ ( $i \in \{1, \thinspace 2\}$) mit Hilfe der Gleichungen (2.10) und (2.9) berechnet werden.

Anfang dieser Seite

Studienarbeit von Stefan Kögler, 5koegler@informatik.uni-hamburg.de
Dokument:
Letzte Änderung: