Online-Tutorium über mathematische Methoden zur Beschreibung von Kurven

Inhalt, Interpolationsverfahren, Kubische Spline-Kurven: [ Motivation | Definition eines Kubischen Spline-Kurvensegments | Erweiterung auf zwei Kurvensegmente | Verallgemeinerung für beliebig viele Kurvensegmente | Beurteilung Kubischer Spline-Kurven ]

Definition eines Kubischen Spline-Kurvensegments

Ein Kubisches Spline-Kurvensegment durch zwei Stützpunkte wird definiert durch die vektorwertige parametrische Gleichung:

$\begin{displaymath} K_{1} (t) = A_{1} + B_{1} \cdot t + C_{1} \cdot t^{2} + D_{1} \cdot t^{3} \end{displaymath}$

(2.1)

Der Index

bei den Koeffizienten

und

bedeutet, dass diese Koeffizienten zum ersten Kurvensegment gehören. Der Parameter

: $(t_{1}=0) \leq t \leq t_{2}$ Die Randbedingungen für das erste bzw. hier nur ein Kurvensegment sind:

$P_{1}, \thinspace P_{2}$ : Ortsvektoren der Stützpunkte
$P_{1}', \thinspace P_{2}'$ : Kurvenableitungen nach dem Parameter an den Stützpunkten $P_{1}$ bzw. $P_{2}$

Siehe auch Java-Applet 2.1. Aus den Randbedingungen ergeben sich die Koeffizienten $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ und $D_{1}$ .

**Java-Applet 2.1:** Die Randbedingungen bei einem Kubischen Spline-Kurvensegment

Die erste Ableitung des ersten Kurvensegments nach dem Parameter

ist:

$\begin{displaymath} \frac{dK_{1} (t)}{dt} = B_{1} + 2 \cdot C_{1} \cdot t + 3 \cdot D_{1} \cdot t^{2} \end{displaymath}$

(2.2)

Im Fall eines Kurvensegments ergeben sich aus den Randbedingungen:

$\begin{displaymath} K_{1} (t_{1})=P_{1}, \qquad K_{1} (t_{2})=P_{2} \end{displaymath}$

(Die beiden gegebenen Stützpunkte sollen interpoliert werden.)

$\begin{displaymath} {\frac{dK_{1} (t)}{dt}}\Biggr\vert _{t=t_{1}} = P_{1}', \qquad {\frac{dK_{1} (t)}{dt}}\Biggr\vert _{t=t_{2}} = P_{2}' \end{displaymath}$

(Am ersten und letzten Stützpunkt sind die Tangenten, also Ableitungen, vorgegeben.)

Aus der Kurvengleichung (2.1) und der ersten Ableitung (2.2) folgen die vier Koeffizienten:

$\begin{displaymath} K_{1} (0)= A_{1}=P_{1} \end{displaymath}$

(2.3)

$\begin{displaymath} {\frac{dK_{1} (t)}{dt}}\Biggr\vert _{t=0} {= B_{1} = P_{1}'} \end{displaymath}$

(2.4)

$\begin{displaymath} K_{1} (t_{2}) = A_{1} + B_{1} \cdot t_{2} + C_{1} \cdot t_{2}^{2} + D_{1} \cdot t_{2}^{3} \end{displaymath}$

(2.5)

$\begin{displaymath} {\frac{dK_{1} (t)}{dt}}\Biggr\vert _{t=t_{2}} {= B_{1} + 2 \cdot C_{1} \cdot t_{2} + 3 \cdot D_{1} \cdot t_{2}^{2}} \end{displaymath}$

(2.6)

Aus (2.5) und (2.6) ergeben sich:

$\begin{displaymath} C_{1} = \frac{3 \cdot (P_{2}-P_{1})}{t_{2}^{2}} - \frac{2 \cdot P_{1}'}{t_{2}} - \frac{P_{2}'}{t_{2}} \end{displaymath}$

(2.7)

$\begin{displaymath} D_{1} = \frac{2 \cdot (P_{1}-P_{2})}{t_{2}^{3}} + \frac{P_{1}'}{t_{2}^{2}} + \frac{P_{2}'}{t_{2}^{2}} \end{displaymath}$

(2.8)

Die Koeffizienten $A_{1}$ aus (2.3), $B_{1}$ aus (2.4), $C_{1}$ aus (2.7) und $D_{1}$ aus (2.8) in die Kurvengleichung (2.1) eingesetzt ergeben ein Kubisches Spline-Kurvensegment in Abhängigkeit von

den Randbedingungen $P_{1}$ , $P_{2}$ , $P_{1}'$ , $P_{2}'$
dem Endparameterwert $t_{2}$

Also:

$\displaystyle K_{1} (t)$	$\textstyle =$	$\displaystyle P_{1} + P_{1}' \cdot t +$
		$\displaystyle {} \left(\frac{3 \cdot (P_{2}-P_{1})}{t_{2}^{2}} - \frac{2 \cdot P_{1}'}{t_{2}} - \frac{P_{2}'}{t_{2}}\right) \cdot t^{2} +$
		$\displaystyle {} \left(\frac{2 \cdot (P_{1}-P_{2})}{t_{2}^{3}} + \frac{P_{1}'}{t_{2}^{2}} + \frac{P_{2}'}{t_{2}^{2}}\right) \cdot t^{3}$	(2.9)

Zur Darstellung braucht man nur noch Informationen zur Parametergrenze $t_{2}$ . Dieser Parameter bestimmt die Bogenlänge des Kurvensegments vom Stützpunkt $P_{1}$ nach $P_{2}$ . Eine gute Näherung ist: $t_{2} = \vert P_{1} - P_{2} \vert$ . Bisher wurde eine Kubische Spline-Kurve durch zwei Stützpunkte und zwei gegebene Kurvenableitungen an diesen Punkten beschrieben.

Studienarbeit von Stefan Kögler, 5koegler@informatik.uni-hamburg.de
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