Inhalt, Interpolationsverfahren, Parabolische Verbindungskurven: [ Motivation | Allgemeine Form des Verfahrens | Verfahren im dreidimensionalen Raum | Beurteilung Parabolischer Verbindungskurven ]

Verfahren im dreidimensionalen Raum

Nun wird eine Möglichkeit gesucht, eine Parabolische Verbindungskurve zu beschreiben, die durch eine parametrische Gleichung in Bezug auf das $xyz$-System und dem Parameter $t$ definiert ist. In Abbildung 2.4 ist ein Parabelbogen ($ru$-Ebene) innerhalb des $xyz$-Systems dargestellt.

Abbildung 2.4: $ru$-Ebene eines Parabelbogens im dreidimensionalen Raum
\includegraphics [width=2.73in,height=2.00in]{parabolic3d.bmp}

Definition der $ru$-Ebene bezüglich des $xyz$-Systems:
\begin{displaymath} (P_{2} - J) \cdot (P_{3} - P_{1}) = 0 \qquad (Skalarprodukt) \end{displaymath} (2.24)

Liege $J$ in der $ru$-Ebene bei $\varrho \cdot d$, so ist im $xyz$-System:
\begin{displaymath} J = P_{1} + \varrho \cdot (P_{3} - P_{1}) \end{displaymath} (2.25)

Daraus folgt für die Ebenendefinition ($J$ aus (2.25) in (2.24) eingesetzt):
\begin{displaymath} (P_{2} - [P_{1} + \varrho \cdot (P_{3} - P_{1})]) \cdot (P_{3} - P_{1}) = 0 \end{displaymath} (2.26)

aufgelöst nach $\varrho$ ergibt:
\begin{displaymath} \varrho = \frac{(P_{2}-P_{1})(P_{3}-P_{1})}{(P_{3}-P_{1})(P_{3}-P_{1})} = \frac{(P_{2}-P_{1})(P_{3}-P_{1})}{d^{2}} \end{displaymath} (2.27)

Der Wert von $d$ entspricht dem Betrag des Vektors ($P_{3}-P_{1}$, Grundlinie der Parabel). Der Wert von $\varrho$ bedeutet anschaulich, die Stelle auf der Linie von $P_{1}$ nach $P{3}$, an der $P_2$ diese Linie im Winkel von 90 Grad schneidet. Die Stelle wird auch durch $J$ beschrieben (siehe (2.25) und Abbildung 2.4). Damit ergibt sich als Vektorgleichung für einen Punkt auf der Parabel $P(r)$ bezüglich des $xyz$-Systems:
\begin{displaymath} P(r)=P_{1} + \frac{r}{d} \cdot (P_{3}-P_{1}) + \alpha \cdot r \cdot (d-r) \cdot (P_{2} - J) \end{displaymath} (2.28)

bzw. ($J$ aus (2.25) in (2.28) eingesetzt):
\begin{displaymath} P(r) = P_{1} + \frac{r}{d} \cdot (P_{3}-P_{1}) + \alpha \c... ...d-r) \cdot [(P_{2} - P_{1}) + \varrho \cdot (P_{3} - P_{1})] \end{displaymath} (2.29)

Anschaulich bedeuten (2.28) bzw. (2.29) : Beginnend von $P_{1}$ "wandert" ein imaginärer Punkt erst entlang der r-Achse (zweiter Term), um schließlich mit Hilfe des dritten Terms (Richtung u-Achse) den Endpunkt auf der Parabel zu erreichen. Nun müssen noch $\alpha$ und die parametrische Beziehung $r(t)$ bestimmt werden. Im $ru$-System ist:

\begin{displaymath} P(\varrho \cdot d) = P_{2} \end{displaymath}

Damit folgt aus der Vektorgleichung für $(P_{2} - J)$:
\begin{displaymath} (P_{2} - J) = \alpha \cdot \varrho \cdot d \cdot (d - (\varrho \cdot d)) \cdot (P_{2} - J) \end{displaymath} (2.30)

also:
\begin{displaymath} \alpha = \frac{1}{d^{2} \cdot \varrho \cdot (1 - \varrho)} \end{displaymath} (2.31)

Der Faktor $\alpha$ sorgt dafür, dass die Parabel genau durch den in Abzissen-Richtung mittleren Stützpunkt verläuft (hier $P_{2}$). Für $r=r(t)$ gilt:
\begin{displaymath} r = \varrho \cdot d + t \cdot \cos \Theta_{r} \end{displaymath} (2.32)

mit:
\begin{displaymath} \cos \Theta_{r} = \frac{(P_{3}-P_{2})(P_{3}-P_{1})}{t_{0} \cdot d}, \qquad t_{0} = \vert P_{3} - P_{2}\vert \end{displaymath} (2.33)

Analog können $\beta$ und $s=s(t)$ für die Parabel $Q(s)$ bestimmt werden. Es folgt:
\begin{displaymath} \beta = \frac{1}{e^{2} \cdot \sigma \cdot (1 - \sigma)} \end{displaymath} (2.34)


\begin{displaymath} Q(s)=P_{2} + \frac{s}{e} \cdot (P_{4}-P_{2}) + \beta \cdot s \cdot (e-s) \cdot (P_{3} - K) \end{displaymath} (2.35)

bzw.
\begin{displaymath} Q(s)=P_{2} + \frac{s}{e} \cdot (P_{4}-P_{2}) + \beta \cdot... ... (e-s) \cdot [(P_{3} - P_{2}) + \sigma \cdot (P_{4} - P_{2})] \end{displaymath} (2.36)

Für $s=s(t)$ gilt:
\begin{displaymath} s = t \cdot \cos \Theta_{s} \end{displaymath} (2.37)

mit:
\begin{displaymath} \cos \Theta_{s} = \frac{(P_{3}-P_{2})(P_{4}-P_{2})}{t_{0} \cdot e}, \qquad t_{0} = \vert P_{3} - P_{2}\vert \end{displaymath} (2.38)

Nachdem nun zwei Parabeln im $xyz$-System definiert wurden, muss abschließend noch die Parabolische Verbindungskurve, als Übergang von $P(r)$ nach $Q(s)$, zwischen den Punkten $P_{2}$ und $P_{3}$ berechnet werden:
\begin{displaymath} K(t) = \left(1-\left(\frac{t}{t_{0}}\right)\right) \cdot P(r) + \left(\frac{t}{t_{0}}\right) \cdot Q(s) \end{displaymath} (2.39)

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Studienarbeit von Stefan Kögler, 5koegler@informatik.uni-hamburg.de
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