Inhalt, Interpolationsverfahren, Parabolische Verbindungskurven: [ Motivation | Allgemeine Form des Verfahrens | Verfahren im dreidimensionalen Raum | Beurteilung Parabolischer Verbindungskurven ]

Allgemeine Form des Verfahrens

Zunächst wird die allgemeine Form des Verfahrens beschrieben. Der Parabelbogen aus Java-Applet 2.3 durch die ersten drei Punkte in Bezug auf das lokale Koordinatensystem dieser Punkte wird folgendermaßen definiert:
\begin{displaymath} u = P(r) = \alpha \cdot r \cdot (d-r) \end{displaymath} (2.21)

mit $d = \vert P_{3} - P_{1}\vert$
und $0 \leq r \leq d$
$\alpha$ wird so gewählt, daß die Parabel durch $P_{2}$ verläuft.

Java-Applet 2.3: Parabolische Verbindungskurve: zwei Parabelbögen mit jeweils lokalem Koordinatensystem

Der zweite Parabelbogen durch $P_{2}, P_{3}$ und $P_{4}$ wird analog definiert:
\begin{displaymath} v = Q(s) = \alpha \cdot s \cdot (e-s) \end{displaymath} (2.22)

mit $e = \vert P_{4} - P_{2}\vert$
und $0 \leq s \leq e$
Die Parabolische Verbindungskurve wird nun zwischen $P_{2}$ und $P_{3}$ berechnet zu:
\begin{displaymath} K(t) = \left(1-\left(\frac{t}{t_{0}}\right)\right) \cdot P(r) + \left(\frac{t}{t_{0}}\right) \cdot Q(s) \end{displaymath} (2.23)

mit $t_{0} = \vert P_{3} - P_{2}\vert$
und $0 \leq t \leq t_{0}$ Der Parameter $t$ variiert auf der Sehne $\overline{P_{2}P_{3}}$. Die Koeffizienten $\left(1-\left(\frac{t}{t_{0}}\right)\right)$ und $\left(\frac{t}{t_{0}}\right)$ von $P(r)$ und $Q(s)$ sind Verbindungsfunktionen, die linear zwischen 0 und 1 bzw. 1 und 0 variieren (Wichtungsfunktionen, bzw. "blending functions"). Die soeben definierte Parabolische Verbindungskurve läuft von $P_{2}$ bis $P_{3}$ und liegt zwischen $P(r)$ und $Q(s)$ - an ihrem Anfang dominieren die Eigenschaften von $P(r)$, am Ende die von $Q(s)$. Der Übergang ist linear.

Im folgenden soll das eben beschriebene allgemeine Verfahren im dreidimensionalen Raum umgesetzt werden.

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Studienarbeit von Stefan Kögler, 5koegler@informatik.uni-hamburg.de
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