Online-Tutorium über mathematische Methoden zur Beschreibung von Kurven

Inhalt, Approximationsverfahren, NURBS-Kurven: [ Motivation | Definition von NURBS-Kurven | Eigenschaften der NURBS-Basisfunktion | Eigenschaften der NURBS-Kurven | Beurteilung von NURBS-Kurven ]

Definition von NURBS-Kurven

NURBS-Kurven können neben den Bézier- und B-Spline-Kurven auch Kegelschnitte wie Kreise und Elipsen repräsentieren. Die NURBS-Kurven sind parametrische rationale Kurven und werden wie folgt definiert:

$\begin{displaymath} K (t) = \frac{\sum_{i=0}^{n} w_{i} \cdot P_{i} \cdot N_{i, k} (t)}{\sum_{i=0}^{n} w_{i} \cdot N_{i, k} (t)} \end{displaymath}$

(3.8)

Im Vergleich zu den B-Spline-Kurven fällt sofort die rationale Form der Funktion auf, außerdem sind noch $w_{i}$ in der Definition enthalten. Sie sind zusätzliche konstante Gewichte, die noch stärkeren Einfluss auf den Kurvenverlauf ermöglichen:

ein grosses $w_{i}$ (>1) zieht die Kurve an den Punkt $P_{i}$ heran.
ist $w_{i} = 1 \ \ \forall i$ erhält man die nichtrationale B-Spline-Kurve.
ein Wert von 0 für $w_{i}$ bedeutet, dass $P_{i}$ keinen Einfluss auf den Kurvenverlauf hat.

Die Definition (3.8) kann umgeformt werden zu:

$\begin{displaymath} K (t) = \sum_{i=0}^{n} R_{i,k} (t) \cdot P_{i} \end{displaymath}$

(3.9)

wobei $R_{i}$ wie folgt definiert ist:

$\begin{displaymath} R_{i,k} (t) = \frac{w_{i} \cdot N_{i, k} (t)}{\sum_{j=0}^{n} w_{j} \cdot N_{j, k} (t)} \end{displaymath}$

(3.10)

und somit ist $R_{i,k} (t)$ die NURBS-Basisfunktion.

Studienarbeit von Stefan Kögler, 5koegler@informatik.uni-hamburg.de
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